Los Números Complejos en Ingeniería Eléctrica

En palabras de Gauss: Los números complejos hacen visible lo invisible. Por ello, fueron, son y serán un epifanía para todos los estudiantes que con ellos se topen.


Introducción

Los números complejos son un tema fascinante desde muchos puntos de vista, especialmente si consideramos la postura platónica que inspiró a gauss en sus demostraciones,  matemáticamente es un cuerpo extensión y clausura de los números reales, esto quiere decir que C es el único cuerpo conmutativo algebraico que contiene a los números reales y el mínimo cuerpo que es algebraicamente cerrado, o en otras palabras, si queremos desarrollar un cuerpo con propiedades tales que en tal cuerpo se puedan desarrollar soluciones de un polinomio algebraico preservando la características como la conmutatividad, asociación y distribución, dicho cuerpo corresponde al de los números complejos, cabe destacar el rol que toman los números trascendentes π y e (que son números algebraicos trascendentes) en dicho conjunto.

 

Su relación con el Teorema Fundamental del Álgebra

Los números complejos deben su invención o descubrimiento a la búsqueda de raíces de polinomios, desde la antigüedad se sabía que algunos polinomios no tienen solución en los números reales, Ars Magna (1545) es considerada como la fecha de nacimiento de los números complejos y además el principio del álgebra moderna, aunque fue escrito por Cardano(el mismo del cardan que llevan todos los vehículos) es influenciado por Tartaglia y antes incluso por Escipione del Ferro que encontró primero la resolución de ecuaciones de tercer grado, pero el futuro era primor, fue pedro roth(1609) quien dijo que un polinomio de grado n “podria” tener n soluciones, fue Descartes(1637) quien dijo que se puede “imaginar” que un polinomio de grado n tiene n soluciones y fue alberto giraldo(1629) quien afirmó(sin demostrarlo) que si las tenía… se había planteado la conjetura que luego se transformaría en el Teorema Fundamental del Álgebra (TFA).
Si esta conjetura era cierta, implicaba que había cierto tipo de numero que no eran reales, en 1572 Bombelli y 1539 Cardano se anticiparon y dieron pistas de algunas propiedades que deberían tener esos números, pero su verdadera identidad aguardaba en la demostración del teorema Fundamental del Álgebra, d´Alambert, Euler, Lagrange y Laplace intentaron demostrar esta conjetura, en 1799 Gauss hizo una prueba en su tesis doctoral, pero fue Argand quien lo demostró en 1806, Gauss lo demostró independientemente por vías distintas en 1815, 1816 y 1849 esta última completando la de 1799, por lo que a veces se le da la autoria a Gauss.

Quedando el teorema así:
Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado.
Por ejemplo:
Ecuación Algebraica (z2-1)(z-2-i)2/(z2+2+2i) donde se puede visualizar que posee 3 Soluciones en el denominador llamada ceros y dos en el denominador llamada polos, en el plano complejo el color representa la fase y la tonalidad la magnitud. Fte.Wikipedia.
Me gustaría aclarar este alcance mas detalladamente: Gauss intuía que los números complejos más que soluciones particulares de ecuaciones polinómicas eran como la metáfora de la caverna de platón; la sombra de un ámbito mas amplio al que llamó dominio complejo y le siguió su enfoque platónico para explicar que eran los números      complejos utilizando las mismas reglas que se usaban en la antigüedad; regla y compás que se transformaron en magnitud y argumento, de esta forma el hecho de cuadrar significaba y significa(en la forma polar) elevar al cuadrado la magnitud y duplicar el angulo, esta visión fue clave y fue usada de manera inversa, ¿que significa √−1? …la operación inversa a cuadrar, de esta forma en un circulo unitario de radio 1 centrada en el origen, realizar la operación inversa de cuadrar al “-1 del eje real” significa una magnitud √−1 y dividir el angulo(180°) en dos, es decir, 90°. De ahí se deduce que el eje imaginario esta girado 90° con respecto al eje real, así:una forma sorprendente de ver esto, es con la  ecuación genérica de la parábola
y= (x-a)^2 + b

Cuando la parábola cruza el eje real tiene 2 soluciones reales(primera parábola), cuando toca en un solo punto la parábola sigue teniendo dos soluciones solo que son reales e iguales(Segunda parábola), cuando deja de tocar el eje real, siguen habiendo dos soluciones (por TFA) complejas y conjugadas y además están giradas 90° con respecto a la linea original que había entre ellas.
La Fórmula de Euler(1748)

Fue descubierta en su forma logarítmica en 1714 por Roger Cotes,  de ella se desprenden aspectos muy interesantes; la hermosa identidad que reúne los números neutro aditivo y neutro multiplicativo de la aritmética, los números trascendentes e y pi, el TFA del álgebra y la geometría gracias a la interpretación de Wessel del plano complejo, todo eso se reúne en esta imagen:
Pronto los físicos vieron la utilidad que tenia para representar el movimiento armónico simple, en efecto, de esto (1):

se puede llegar a esto (2):

Haciendo un cambio de variable tal que el argumento sea ωt, es decir, de esta forma se puede describir el desarrollo en el tiempo de una onda alterna senosoidal de frecuencia angular ω… de aquí nace el Fasor.En 1893 Proteus presenta a la antecesora de la IEEE la AIEE la noción para sistematizar el uso del fasor en los libros de educación y convertir difíciles problemas diferenciales en problemas algebraicos, fue en esta comisión que se tomó la letra j como unidad imaginaria(para evitar su aparición en las ecuaciones donde aparece la letra i para representar la corriente eléctrica).
Aunque en un comienzo el fasor fue considerado para describir las señales de voltaje y corriente(La impedancia no es un fasor) en estado estacionario, los avances de Fourier y Laplace y los avances modernos en transformadas posteriormente hicieron que se extendieran al análisis transiente.

Conceptos Básicos

Conceptos avanzados

Después de la demostración del TFA se desarrollaron muchísimos avances al respecto siendo uno de los mas notables el logrado por hilbert en 1843, en ese entonces hilbert intentaba describir las tres coordenadas del espacio en planos complejos, es decir,  un numero tal que tuviera una parte real y dos imaginarias, ante la dificultad de hacer consistente tal representación en una anecdótica jornada logró la consistencia con los cuaterniones, una parte real y tres imaginarias , \{1,\ i,\ j,\ k\} la parte real describiría el transcurso del tiempo y las restantes( i, j, k) los ejes perpendiculares del espacio tridimensional, como el espacio( C) es cerrado, este nuevo espacio (H) sería una extensión que perdería una de sus propiedades, la propiedad conmutatividad no se cumple. Curiosamente las rotaciones en el espacio 3D en general no son conmutativas, si rotamos un libro axialmente y luego linealmente llegaremos a que nos encontramos con su reverso invertido, si en cambio, primero giramos linealmente y luego axialmente nos encontraremos con el libro de canto. Por lo tanto los cuaterniones resultan ideales para efectuar rotaciones en el espacio, son usados en simuladores de vuelos y gráficas de juegos. Maxwell se refirió a los cuaterniones de una manera elocuente.

Tiempo después se desarrolló el álgebra de matrices y el álgebra vectorial(que conservaron los indices i,j,k de sus origenes cuterniónicos) que ayudaron a que esta rama sea algo olvidada.

¿Vector o Fasor?

Vector y Fasor son entes matemáticos que poseen significado diferente pero que se pueden homologar, esto quiere decir que bajo ciertos convenios puedo tratar un fasor como si fuera un vector

Primero hay que abordar los convenios mediante los cuales hacemos tratamiento vectorial del fasor: Dado un sistema de referencia que defina el sentido positivo se puede establecer las siguientes diferencias: el vector describe: Magnitud, dirección y sentido, el fasor en cambio describe explícitmente, magnitud, dirección y sentido  e implícitamente la frecuencia. Puesto que los sistemas de referencia que definen el sentido usualmente también definen la frecuencia de referencia (50 hz en el caso de la red alterna) es común tratar a los fasores como vectores dejando de forma implícita la diferencia.

Fuente:
http://archive.today/pblp#selection-949.23-949.52
http://www.encyclopedia.com/topic/Carl_Friedrich_Gauss.aspx
http://www.thelatinlibrary.com/gauss.html
http://www.ugr.es/~eaznar/FTA.htm
http://larouchepub.com/spanish/reir/privado/anteriores/anteriores2006/2006_04-5/pdfs/04_SER%20Poder%20Afv.pdf pag.22

 

 

 

 

Anuncios

Convenio de Polaridad de Gauss aplicado a Subestaciones

Convenio de Polaridad de Gauss aplicado a Subestaciones:
Un Observador Local en una Subestación medirá las corrientes entrantes como negativas y salientes como positivas; esto determina la polarización de los TCs y su conexionado y de esta manera siempre sabrá a ciencia cierta cual es el sentido real del Flujo de Energía, especialmente útil en Subestaciones de Interconexión. NOTA: algunas veces este convenio es usado al revés, sin embargo, la idea en su sentido original fue usada intensamente por Carl Gauss cuando quiso establecer los sentidos del flujo para la hoy conocida como ley de Gauss o primera ley de Maxwell.SE_TTCC_

Convenio de Polaridad para Transformadores de Corriente:

La polaridad de los TC se determina a través de la regla de Maxwell para el sentido del flujo magnético y se consideran los puntos con la misma polaridad o polaridad aditiva aquellos que se “pueden” hipotéticamente unir sin provocar cambios en el sentido de la corriente, dichos puntos se llaman “homólogos” y se acostumbra señalarlos con una marca o letra(K o P1 en primario y k o S1 para el secundario), así, se dice que la polaridad es aditiva si la corriente primaria entra por marca y la secundaria sale por marca o si la corriente primaria sale por marca y la corriente secundaria entra por marca.
  • Attached image: No description set. image_1bakobl00gkvk6k1oojtfm1kq7.png Click to open full-page preview.

¿Se puede ver la aurora austral desde Chile?


Si y no, normalmente no es posible verlas ya que se originan desde el polo sur hacia australia a mucha distancia como para poder verlas, sin embargo, hay testimonios…hay recuerdos… hay ocasiones, en que se han visto hasta en santiago, son las famosas tormentas solares que hacen que se intensifiquen las auroras y lleguen a latitudes mas altas, este video fue grabado en Australia a la misma latitud que osorno: http://vimeo.com/terrastro/redaurora.

¿Hacia donde apunta la brújula?

 

¿Hacia donde apunta la brújula?
Y no es un pregunta retórica, cuando dos consensos se topan siempre hay confusión , este es el caso de los polos magnéticos.

La brújula es un instrumento inventado primero por los chinos y probablemente de forma independiente por los europeos, estos últimos acostumbraban marcar la aguja apuntando hacia el norte a diferencia de los chinos, de esta forma fue utilizada y estandarizada hasta el día de hoy. El conflicto surge entre los cartógrafos por un lado y Charles du Fay con Frederic Gauss por el otro, Charles primero estableció la ley de atracción de cargas que es análoga a la ley de atracción de polos en un imán(polos distintos se atraen polos iguales se repelen), luego Gauss definió un criterio para establecer la polaridad de un campo, esta establece que un campo magnético es positivo(Norte Magnético) cuando sus lineas de campo salen de una esfera imaginaria, en cambio es negativo(Sur Magnético) cuando entran. La aguja imantada de la brújula es ferromagnética y alinea sus dipolos magnéticos tal que quedan orientados con el mismo sentido y dirección que el campo inductor, es decir, el polo norte de la brújula apuntara siempre al polo sur del campo, sea este un imán o la propia tierra.
De acuerdo a esto, aproximadamente a 600 km del Polo Norte Geográfico tenemos el Polo Sur Magnético y a 2880 km del Polo Sur Geográfico tenemos el Polo Norte Magnético.
¿que ocurre entonces? Las cartas de navegación eran primero y no era presentable tener polos opuestos en un mismo hemisferio, se podía prestar a confusión, se mantuvo la tradición europea de marcar las brújulas tal que el norte de ella apunte al norte magnético y así quedó en los mapas.

Vean este video emitido por la Nasa que explica las auroras boreales consensuando el convenio de gauss.

 

 

 

¿La carga eléctrica del electrón es negativa?


Primero hay que definir que la carga eléctrica es una propiedad fundamental de la naturaleza que toma valores discretos múltiplos de la carga que posee un solo electrón, fue Charles du Fay el primero en distinguir la ley de cargas, dos cuerpos con cargas iguales se rechazan y dos con cargas distintas se atraen, fue Benjamín Franklin quien las designó como positivas y negativas para referirse a ellas(En un acto similar Herschel designó al positivo y negativo de una imagen), luego, con Ampere primero y con Maxwell de forma definitiva se descubrió que la carga se conserva de forma algebraica y tuvo sentido entonces referirse a ellas con el signo (+) y (-), con el descubrimiento del electrón por parte de Millikan se demostró que las que se hacían llamar por negativas eran los electrones y mantuvo el convenio del signo(-). Desde entonces que se trata al electrón como si tuviera carga negativa, se entiende claramente que es nada mas y nada menos que un convenio.